Insan Pembelajar: Sub Ring

Definisi:

Sebuah set S dari sebuah ring R adalah Sub Ring dari R jika S adalah sebuah ring dengan operasi-operasi pada ring.

Latihan 1

Sebuah subset S yang tidak kosong dari sebuah ring R adalah Sub ring jika S tertutup di bawah operasi pengurangan (dinyatakan dengan a - b) dan operasi perkalian (dinyatakan dengan a.b). Buktikan!

Diketahui:

R adalah Ring

S subset dari R

$\forall a,b\in S, a - b\in S$
$\forall a,b\in S, a.b\in S$
Akan ditunjukkan:
(i) $\forall a,b\in S, a+b = b+a$
(ii) $\forall a,b\in S, \left ( a+b \right )+c = a+\left (b+c \right )$
(iii)   $\exists 0\in S\ni\forall a\in S,a+0 = a$
(iv)   $\forall a\in S,\exists -a\in S \ni \forall a\in S,a+(-a) = 0$
(v) $\forall a,b,c\in S,a.\left ( b.c \right ) = \left ( a.b \right ).c$
(vi)   $\forall a,b,c\in S,a.\left ( b+c \right ) = a.b+a.c$
$\forall a,b,c\in S,\left ( b+c \right ).a = b.a+c.a$

Bukti:
(i) Ambil sembarang $a,b \in S$
$S \subset R$ maka $a,b \in R$
Diketahui R ring
maka $a+b = b+a$
Jadi $\forall a,b \in S,a+b = b+a$

(ii) Ambil sembarang $a,b,c\in S$
   $S\subset R$ maka $a,b,c \in R$
Diketahui R ring
maka $\left ( a+b \right )+c = a+\left ( b+c \right )$
Jadi $\forall a,b,c \in R ,\left ( a+b \right )+c = a+\left ( b+c \right )$

(iii) 1) Tunjukkan $0\in S$
2) $\forall a\in S,a+0 = a$
Bukti:
1) Diketahui
$\forall a,b\in S,a-b \in S$
Pilih $b=a,a-b \in S$ maka
$a-b \in S$
$a-a \in S$
$0\in S$
2) Ambil sembarang $a\in S$
Akan ditunjukkan $a+0 = a$
$S\subset R$ maka $a,0\in R$
Diketahui R ring
maka $a+0 = a$
Jadi $\exists 0\in S \ni \forall a \in S,a+0 = a$

(iv) Ambil sembarang $a \in S$
1) Diketahui $\forall a,b \in S, a-b \in S$
Pilih $a = 0, b = a, a \in S$ maka
$a-b\in S$
   $0-a\in S$
$-a\in S$
2) Ambil sembarang $a\in S$
Akan dibuktikan $a+(-a) = 0$
   $S \subset R$ maka $a,-a \in R$
Diketahui R ring
maka $a+(-a) = 0$
Jadi $\forall a\in S, \exists -a \in S \ni \forall a\in S, a+(-a) = 0$

(v) Ambil sembarang $a,b,c \in S$
$S\subset R$ maka $a,b,c\in R$
Diketahui R ring
maka $a.(b.c) = (a.b).c$
Jadi $\forall a,b,c\in S, a.\left ( b.c \right ) = \left ( a.b \right ).c$

(vi) Ambil sembarang $a,b,c\in S$
$S\subset R$ maka $a,b,c \in R$
Diketahui R ring
maka $a.(b+c) = a.b+a.c$
$(b+c).a = b.a+c.a$
Jadi $\forall a,b,c \in S,a.\left ( b+c \right ) = a.b+a.c$
$\forall a,b,c \in S,\left ( b+c \right ).a = b.a+c.a$
Kesimpulan : S merupakan Sub Ring dari R

Insan Pembelajar

Sub Ring

No comments:

Post a Comment

Latihan UAS

Search This Blog