Insan Pembelajar: Persamaan Kuadrat

Bentuk umum Persamaan Kuadrat :
$ax^{2}+bx+c=0; a\neq 0$

Persamaan kuadrat merupakan suatu bentuk persamaan (menggunakan tanda sama dengan "=") dimana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

Variabel merupakan bilangan yang belum pasti nilainya, dan biasanya disimbolkan dengan huruf (contoh: x, y, dan lainnya).

Koefisien adalah suatu bilangan/konstanta yang melekat pada variabel, biasanya dituliskan didepan variabel, sebagai bentuk perkalian.

Karena kuadrat (pangkat dua), maka penyelesaian dari persamaan kuadrat juga ada 2 buah nilai x.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat $x^{2}-9=0$ !

Penyelesaian:
$x^{2}-9=0$      (kedua ruas ditambah 9)
$x^{2}=9$              (kedua ruas di akar)
$x=\pm \sqrt{9}$
$x=\pm 3$
$x=-3$ atau $x=3$
$Hp=\left \{ -3,3 \right \}$

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat $x^{2}-4x=0$ !

Penyelesaian:
$x^{2}-4x=0$          (kedua ruas ditambah kuadrat setengah dari koefisien x)
$x^{2}-4x+2^{2}=0+2^{2}$
$x^{2}-4x+4=4$
$\left (x-2 \right )^{2}=4$ (kedua ruas di akar)
$\left (x-2 \right )=\pm \sqrt{4}$    (kedua ruas di tambah 2)
$x=\pm \sqrt{4}+2$
$x=-4+2$ atau $x=4+2$
$x=-2$ atau $x=6$
$Hp=\left \{ -2,6 \right \}$

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat $2x^{2}+5x-3=0$ !

Penyelesaian:
$2x^{2}+5x-3=0$ (semua ruas dibagi 2)
$x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0$
$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$   (kedua ruas ditambah kuadrat setengah dari koefisien x)
$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left ( \frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{3}{2}+\left ( \frac{5}{4} \right )^{2}$
$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{24}{16}+\frac{25}{16}$
$\left (x+\frac{5}{4}\right )^{2}=\frac{49}{16}$ (kedua ruas di akar)
$x+\frac{5}{4}=\pm\sqrt{\frac{49}{16}}$
$x=\pm\frac{7}{4}-\frac{5}{4}$
$x=-\frac{7}{4}-\frac{5}{4}$ atau $x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}$
$x=-\frac{12}{4}$ atau $x=\frac{2}{4}$
$x=-3$ atau $x=\frac{1}{2}$
$Hp=\left \{ -3,\frac{1}{2}\right \}$

Dari contoh di atas, kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat:
$ax^{2}+bx+c = 0$
$x^{2}+\frac{b}{a}x +\frac{c}{a}= 0$
$x^{2}+\frac{b}{a}x =- \frac{c}{a}$
$x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} =- \frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$
$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} =- \frac{c}{a}+\left ( \frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )$
$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} =- \frac{4ac}{4a^{2}}+\left ( \frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )$
$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} =\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$
$\left ( x+\frac{b}{2a} \right ) =\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$
$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Bilangan yang di dalam akar sering disebut sebagai Diskriminan (D).

Untuk lebih jelasnya, lihat video tutorial tentang penyelesaian persamaan kuadrat klik disini

Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Perhatikan contoh berikut:
Contoh 1
Tentukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+2x-3 = 0$ !

Penyelesaian:
$x^{2}+2x-3 = 0$
$x^{2}+2x=3$
$x^{2}+2x+1^{2}=3+1^{2}$
$\left ( x+1 \right )^{2}=4$
$\left ( x+1 \right )=\pm \sqrt{4}$
$x+1=\pm 2$
$x=\pm 2-1$
$x=- 2-1$ atau $x=2-1$
$x=-3$ atau $x=1$

Contoh 2
Tentukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-4x+4=0$ !

Penyelesaian:
$x^{2}-4x+4=0$
$x^{2}-4x=-4$
$x^{2}-4x+2^{2}=-4+2^{2}$
$\left ( x-2 \right )^{2}=-4+4$
$\left ( x-2 \right )^{2}=0$
$\left ( x-2 \right )=\pm\sqrt{0}$
$x-2 =\pm0$
$x=-0+2$ atau $x=0+2$
$x=2$ atau $x=2$

Contoh 3
Tentukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-2x+3=0$ !

Penyelesaian:
$x^{2}-2x+3=0$
$x^{2}-2x=-3$
$x^{2}-2x+1^{2}=-3+1^{2}$
$\left ( x-1 \right )^{2}=-2$
$\left ( x-1 \right )=\pm \sqrt{-2}$    (tidak ada bilangan riil yg bernilai akar negatif)
Jadi tidak memiliki akar-akar yang riil/nyata (disebut akar imajiner)

Dari ketiga contoh di atas, dapat terlihat bahwa, akar-akar persamaan kuadrat sangat bergantung pada bilangan bulat yang ada di dalam akar (D)

1. Untuk $D> 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar riil yang berbeda

2. Untuk $D= 0$ , maka persamaan kuadrat memiliki aka-akar yang riil dan kembar.
3. Untuk $D <0$ , maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang tidak riil (imajiner)

Untuk lebih jelasnya, lihat video tutorial sifat-sifat akar persamaan kuadrat, klik disini

Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat

Lihat penyelesaian persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ , yaitu:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
atau dapat kita tuliskan sebagai:
$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ atau $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Dari kedua penyelesaian di atas, jika kita jumlahkan dan kalikan akan diperoleh rumus-rumus akar, yaitu:
1) $x_{1}+x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x_{1}+x_{2}=\frac{-2b}{2a}$
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$

2) $x_{1}.x_{2}=\left ( \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )\left ( \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )$
$x_{1}.x_{2}=\left ( \frac{\left ( -b \right )^{2}-(\sqrt{b^{2}-4ac})^{2}}{(2a)^{2}} \right )$
   $x_{1}.x_{2}=\frac{b^{2}-\left ( b^{2}-4ac \right )}{4a^{2}}$
$x_{1}.x_{2}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}$
$x_{1}.x_{2}=\frac{4ac}{4a^{2}}$
$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$

Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat $2x^{2}-4x+5=0$ memiliki akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Tentukan:
1. $x_{1}+x_{2} =.....$
2. $x_{1}.x_{2} =.....$
3. $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} =.....$
4. $x_{1}^{2}+x_{2}^{^{2}}=....$

Penyelesaian:
PK :   $2x^{2}-4x+5=0$
BU :   $ax^{2}+bx+c=0$
Sehingga $a=2; b=-4; c=5$
1. $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=\frac{4}{2}=2$
2. $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{5}{2}$
3. $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}}{x_{1}.x_{2}}+\frac{x_{1}}{x_{1}.x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}.x_{2}}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}=-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}$
4. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}.x_{2}=\left ( -\frac{b}{a} \right )^{2}-2\left ( \frac{c}{a} \right )$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2^{2}-2\left ( \frac{5}{2} \right )4-5=-1$
Untuk lebih jelasnya, lihat video tutorial rumus-rumus akar, klik disini

Menyusun Persamaan Kuadrat

Contoh 1
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3 adalah ....

Penyelesaian:
$\left ( x-2 \right )\left ( x-3 \right )=0$
$x^{2}-3x-2x+6=0$
$x^{2}-5x+6=0$

Contoh 2
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 4 adalah ....

Penyelesaian:
$\left ( x+1 \right )\left ( x-4 \right )=0$
$x^{2}-4x+x-4=0$
$x^{2}-3x-4=0$

Contoh 3
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -5 adalah ....

Penyelesaian:
$\left ( x-3 \right )\left ( x+5 \right )=0$
$x^{2}+5x-3x-15=0$
$x^{2}+2x-15=0$

Dari ketiga contoh di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah:

$\left ( x-x_{1}\right )\left ( x-x_{2} \right )=0$
$x^{2}-x_{2}x-x_{1}.x+x_{1}.x_{2}=0$
$x^{2}-(x_{1}+x_{2}).x+x_{1}.x_{2}=0$

Contoh 4
Persamaan kuadrat $x^{2}-4x+6=0$ memiliki akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}+2$ dan $x_{2}+2$ adalah ....

Penyelesaian:
PK : $x^{2}-4x+6=0$
BU : $ax^{2}+bx+c=0$
$a=1; b=-4; c=6$

(i) jumlahkan akar-akar PK yang diketahui:
$(x_{1}+2)+\left ( x_{2}+2 \right )=\left ( x_{1}+x_{2} \right )+4$
$=\left (- \frac{b}{a} \right )+4=-\frac{-4}{1}+4=4+4=8$
(ìi) kalikan akar-akar PK yang diketahui:
$\left ( x_{1}+2\right )\left ( x_{2}+2 \right )=x_{1}.x_{2}+2x_{1}+2x_{2}+4$
$=x_{1}.x_{2}+2\left ( x_{1}+x_{2} \right )+4=\frac{c}{a}+2.4+4$
$=\frac{6}{1}+8+4=6+12=18$
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah:
$x^{2}-8x+18=0$

Untuk lebih jelasnya, lihat video tutorialnya di sini.

Insan Pembelajar

Persamaan Kuadrat

No comments:

Post a Comment

Latihan UAS

Search This Blog