Ring

Definisi:
Sebuah Ring R adalah sebuah set dengan dua operasi biner, penjumlahan (dinyatakan dengan a+b) dan perkalian (dinyatakan dengan a.b), sehingga untuk semua a, b, c dalam R:

1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. Ada elemn 0 dalam R, sehingga a + 0 = a
4. Ada elemen -a dalam R, sehingga a + (-a) = 0
5. a.(b.c) = (a.b).c
6. a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a

Contoh 1
Buktikan sifat ring berikut ini!
Misalkan a, b, dan c dalam sebuah ring, maka:
1) a.0 = 0.a = 0
2) a.(-b) = (-a).b = -(ab)
3) (-a).(-b) = ab
4) a.(b - c) = ab - ac
5) (-1).a = -a, jika R mempunyai unit.
6) (-1).(-1) = 1, jika R mempunyai unit.

Penyelesaian:
1) a.0 = 0.a = 0
    Misal a, b, c dalam ring R
    Akan ditunjukkan a.0 = 0.a = 0
    0 + a.0 = a.0                 (Sifat identitas terhadap penjumlahan)
    0 + a.0 = a.(0 + 0)        (Sifat identitas penjumlahan)
    0 + a.0 = a.0 + a.0        (Sifat distributif)
    0 + a.0 + (-(a.0)) = a.0 + a.0 + (-(a.0))       (Elemen invers terhadap penjumlahan)
    0 + (a.0 + (-(a.0))) = a.0 + (a.0 + (-(a.0)))  (Sifat Assosiatif)
    0 + 0 = a.0 + 0              (Elemen invers penjumlahan)  
    0 = a.0      .... (i)            (Identitas penjumlahan)

    Akan ditunjukkan 0.a = 0
    Pandang bentuk:
    a.0 = 0 + 0.a                 (Sifat identitas terhadap penjumlahan)
    (0 + 0).a = 0 + 0.a        (Sifat identitas penjumlahan)
    0.a + 0.a = 0 + 0.a        (Sifat distributif)
    0.a + 0.a + (-(0.a)) = 0 + 0.a + (-(0.a))        (Elemen invers terhadap penjumlahan)
    0.a + (0.a + (-(0.a))) = 0 + (0.a + (-(0.a)))   (Sifat Assosiatif)
    0.a + 0 = 0 + 0             (Elemen invers penjumlahan)
    0.a = 0     .... (ii)           (Identitas penjumlahan)
    Dari (i) dan (ii) diperoleh:
    a.0 = 0.a = 0   (Terbukti)

2) Misal a, b, c dalam ring R
    a.(-b) = (-a).b = -(ab)
    Akan ditunjukkan:
    a.(-b) = -(ab)
    Pandang bentuk:
    a.(-b) =  a.(-b) + 0                         (Sifat identitas)
              = a.(-b) + a.b + (-(a.b))       (Elemen invers)
              = (a.(-b) + a.b) + (-(a.b))    (Sifat assosiatif)
              = (a.(-b + b)) + (-(a.b))       (Sifat distributif)
              = a.0 + (-(a.b))                    (Elemen identitas)
              = 0 + (-(a.b))                       (Elemen identitas)
              = -(a.b)     .... (i)

    Akan ditunjukkan:
    (-a).b = -(a.b)
    Pandang bentuk:
    (-a.b) = (-a).b + 0                          (Sifat identitas)
              = (-a).b + (a.b) + (-(a.b))    (Elemen invers)
              = ((-a).b + (a.b)) + (-(a.b))  (Sifat assosiatif)
              = ((-a + a).b) + (-(a.b))       (Sifat assosiatif)
              = 0.b + (-(a.b))                    (Elemen identitas)
              = 0 + (-(a.b))                       (Elemen identitas)
              = -(a.b)     .... (ii)                      
    Dari (i) dan (ii) diperoleh:
    a.(-b) = (-a).b = -(a.b)   (Terbukti)

3) Misal a, b, c dalam ring R
    Akan dibuktikan:
    (-a)(-b) = a.b
    Pandang bentuk:
    (-a)(-b) = (-a)(-b) + 0                       (Sifat identitas)
                 = (-a)(-b) + a.b + (-(a.b))    (Elemen invers)
                 = (-a)(-b) + (-(a.b)) + a.b    (Sifat komutatif)
                 = ((-a)(-b) + (-(a).b)) + a.b (Sifat asosiatif)
                 = (-a.(-b + b) + a.b              (Sifat distributif)    
                 = -a.0 + a.b                          (Elemen identitas)
                 = 0 + a.b                              (Elemen identitas)
                 = a.b